27-dimensional Vardy packing

A. Vardy, Density doubling, double-circulants, and new sphere packings, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), 271–283, doi:10.1090/S0002-9947-99-02169-8.

This packing consists of 16384 translates of a lattice in 27 dimensions. A Gram matrix for the lattice is given below as comma-separated values, and the translation vectors are specified as rational linear combinations of the basis vectors corresponding to the Gram matrix. See the table of densities for how this packing compares with other dimensions.

27 × 27 Gram matrix

2,1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,2,-1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
-1,-1,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
1,1,0,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1
1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2

16384 translation vectors

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,0,0,1/2,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,0,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0,0,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,0,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,0,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2
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0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,0,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,0,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2,0,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,1/2,0,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2
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0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,0,0,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,0,0,1/2,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,0,1/2,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2,0,1/2
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0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,0,1/2,0,0,0,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,0,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0
0,0,0,0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,0,0,0,1/2,0
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