MIT Logo

Minimal polynomials

This table lists the minimal polynomials of the cosines that occur in the table of small spherical codes.

Spherical codes

n N Minimal polynomial
3 7 3x3 – 9x2 – 3x + 1
3 8 7x2 + 2x – 1
3 9 3x – 1
3 10 7x3 – 4x2 – 2x + 1
3 11 5x2 – 1
3 12 5x2 – 1
3 13 x8 – 24x7 – 12x6 + 8x5 + 38x4 + 24x3 – 12x2 – 8x + 1
3 14 4x4 – 2x3 + 3x2 – 1
3 15 13x5 – x4 + 6x3 + 2x2 – 3x – 1
3 16 23x6 + 6x5 + 5x4 + 4x3 – 3x2 – 2x – 1
3 17 4x10 – 92x9 + 24x8 + 128x7 – 58x6 – 78x5 + 35x4 + 32x3 – 4x2 – 6x – 1
3 18 216x11 + 108x10 + 118x9 + 209x8 – 100x7 – 160x6 + 40x5 + 46x4 – 20x3 – 12x2 + 2x + 1
3 19 26805627119546756712x75 – 11948562371904894036x74 – 585034737208997137002x73 + 3205538219765481672033x72 – 1811715795208777326138x71 – 32027083460029622026050x70 + 131321687130974923909328x69 – 215430828926691745481942x68 + 143578141387958588992206x67 – 18406761611971518339214x66 + 28337005985031047347118x65 + 236368444777002037271073x64 – 1082229764974994074739344x63 + 1516092906483969195053744x62 + 179570427167174666506496x61 – 3217396144386747746240528x60 + 3537833960550350228385744x59 + 991490736993357330354848x58 – 5706214109060395312919304x57 + 3869375067145621202200948x56 + 3222022425168550972367752x55 – 6451162558970750017599320x54 + 1418757773915326072392384x53 + 4886013800460103250409752x52 – 4187512596952067529671448x51 – 1524646701886268332978696x50 + 4008909869245135167286008x49 – 876772290328159683949020x48 – 2388289625028580376909744x47 + 1571763036057352365864208x46 + 929968188649714429241600x45 – 1244795308423067845031536x44 – 175117573311018995290304x43 + 701512392486712668409464x42 – 56214865908605694262284x41 – 313009485469054026132306x40 + 67705510705054228901124x39 + 114643074677718448810196x38 – 35069626854099241213472x37 – 34325988490554840080772x36 + 12846271813523410492212x35 + 7897687687110894499948x34 – 3748244298939587917724x33 – 995351057402496601890x32 + 1023858388193512945808x31 – 197416589532207246000x30 – 348107335768936904960x29 + 159027821846227712400x28 + 140445584391790929904x27 – 44538947685690751744x26 – 50311525445451632040x25 + 3837870000595205380x24 + 14032664738240095304x23 + 2555747252845771112x22 – 2415894472515188544x21 – 1293572825268210408x20 – 3476911855421016x19 + 210842363175215224x18 + 80264372524640792x17 + 4168369152867604x16 – 7094624800170320x15 – 2960968913050640x14 – 459867970025728x13 + 55487582029808x12 + 46737611704216x11 + 11559923551036x10 + 1215281611558x9 – 143093193863x8 – 87545738138x7 – 19809266850x6 – 2929239600x5 – 308513494x4 – 23230866x3 – 1198926x2 – 38178x – 567
3 20 21x3 – 9x2 – 5x + 1
3 22 486x18 + 13113x17 + 114996x16 + 117476x15 + 658256x14 + 378752x13 – 347056x12 – 121388x11 + 81724x10 – 70886x9 – 55992x8 + 12716x7 + 6528x6 – 2392x5 – 208x4 + 284x3 + 14x2 + 5x + 4
3 24 7x3 + x2 – 3x – 1
3 25 7180192468708211294208x89 – 157717648925692394471424x88 + 1205728317257342942969856x87 – 4502748471868607615631360x86 + 14709588236775443914204275x85 – 42774577964604025309919619x84 + 76599134718087031860943062x83 – 96976813613096908544298678x82 + 145802828395781194853314467x81 – 137468090597227247981340531x80 – 16797985907226176343758328x79 + 115349735848985688948984x78 + 339218126839338276289617150x77 – 646747333461837207404551454x76 + 792159162552089341472707316x75 – 637787712795699990727849396x74 – 414892206619917407257233770x73 + 102815823893140869769512778x72 – 2293865907331965017528459896x71 + 2827648040679434442626956408x70 + 4849746030850456730367364443x69 + 5806499806874699993364450197x68 + 10078022791748877122055368126x67 + 11682844031740411075904993890x66 + 22894905408563887844082994387x65 + 38975821550046544022399438301x64 + 53914020128102954032910469280x63 + 74786258564830258345622481760x62 + 83162806722889287479097544328x61 + 70573303525937791459651988984x60 + 60612526812247392567994522480x59 + 59040929342856659640295995280x58 + 45764600807922972481345365224x57 + 15540240029287467500908264344x56 – 6883938325862057211571652064x55 – 932115592950413390035081760x54 + 16675566638557302430731767718x53 + 16680771362613621478744633402x52 – 561643452959277404508908148x51 – 12884349400762579096060134732x50 – 10651125972482084309508233562x49 – 3092848177770530297429305926x48 + 92246478184019273119527024x47 – 934127036810783545959796336x46 – 1845568512103565650446513452x45 – 1289968098546903362430052756x44 – 572601128519675303348402632x43 – 403874112898637638902078136x42 – 324627016853261845245926236x41 – 8525459396392599724348260x40 + 299751255675112321515406576x39 + 341319612110288486423564048x38 + 180717270363871094742237262x37 + 19313921885905184567368466x36 – 44827292888544990112811060x35 – 37448192491933112216472204x34 – 13807839209608231652461026x33 – 545437907229853636886334x32 + 2230457624090649616650016x31 + 1265006708766043109778656x30 + 302718932114747826739144x29 – 24129911915725279878984x28 – 47587451287604419553936x27 – 18350236658506074372720x26 – 2951950809993319277400x25 + 611389996704378222552x24 + 583533435395314421664x23 + 206226058880426344544x22 + 36181551688403418311x21 – 3839476135541296535x20 – 5172237488767441250x19 – 1952233262605812990x18 – 431384060474673065x17 – 46380020052045543x16 + 5050849868049864x15 + 3294755930889528x14 + 705390381869022x13 + 76532545200642x12 – 383435464204x11 – 1715213031604x10 – 322767548106x9 – 31089390934x8 – 989318200x7 + 173076024x6 + 31705975x5 + 2786873x4 + 153974x3 + 5418x2 + 111x + 1
3 26 4747234817821577661948005859375x101 + 99939112808557036746958999171875x100 + 850316810773567258541926035468750x99 + 3628152996699912579010320305308750x98 + 7233337962611267717845078024616875x97 – 3146202505453499579404619938382825x96 – 90077179164620180316015417575659600x95 – 469668198588166339267851664615729360x94 – 1224328612356632642280038793289887740x93 – 304935138654504001958379588540209420x92 + 6490606391880474866453977456230821592x91 + 13130580452794484863789392868632948312x90 – 4074840348564687422010693188920948028x89 – 43264459969987632078826343681602267500x88 – 36635210258509471897616303340663605808x87 + 53327980635006878169195667241327886160x86 + 111157289417048245501129141267554366918x85 + 8879739585524700577451912552926555086x84 – 141907091623367971681651440776007716900x83 – 112263952243151214026639628205474513828x82 + 71909417670714501468026943137305332750x81 + 151184239842717503175100864777481256966x80 + 34948759553763274617255256707012683664x79 – 90078016821598440349855489872005559280x78 – 75184259558790918522201819774051736764x77 + 8765001807488123500723651695845951668x76 + 41939232272262232187849164846097458680x75 + 19649030643572697658087114580721596024x74 – 2833224845843688146972798172224972508x73 – 7134607763337293865404542082889378828x72 – 5963120337298323097956521539543243536x71 – 4413873979466335365180143845073849488x70 – 325429508123965571421398878246819751x69 + 3393588405300353234128595212296954245x68 + 3022387603727628206158664279686502674x67 + 269680208491399750846721348308975378x66 – 1304709949276248009764427028249473459x65 – 980126426797652819777245797884668799x64 – 125516615873896468152382949731949088x63 + 287480390544647526105142925788209376x62 + 250229582400900320393897963012824136x61 + 71959887601194852897711609365038888x60 – 46109262320988128125362767376303696x59 – 60793077291075916066246216167373648x58 – 22421383476548234784692809754303416x57 + 8156350123020089520123965182953704x56 + 12058074802751354300852196558581024x55 + 3879322922684091227794252642941984x54 – 1430159851319484523037600433647436x53 – 1670357622505514271594532971398492x52 – 436575105101783970721467897501432x51 + 159553837064101385121997364734472x50 + 158761225905353656894824803156836x49 + 44063434683130225585311267442804x48 – 7269558749681045001905774546912x47 – 11893471658436264033464859834080x46 – 5045146562803130033853577940120x45 – 281654632711886265544562881336x44 + 931253299707120013897750275760x43 + 510613133544166375543747864496x42 + 43380077536837440627584994472x41 – 75103221071537433337782327352x40 – 35166193439871610150930096928x39 – 673113814627992473673287200x38 + 4685011345265912723880814161x37 + 1495777365848308117655231709x36 – 120745406938471097355913518x35 – 189253876351465883150238382x34 – 35178602087625338436277387x33 + 8085683838804366389693705x32 + 4304337553016631219820912x31 + 238465986405227061933808x30 – 205489329180785910045900x29 – 27724303010206123657372x28 + 10313177989044138732408x27 + 1199712746603393648888x26 – 1313863861443422577804x25 – 364549722930429492988x24 + 56019730105601134096x23 + 45719855228241214864x22 + 6835252295775195622x21 – 1425740919722638738x20 – 753126495873013540x19 – 102554745449245860x18 + 12393998032376686x17 + 7421545624095206x16 + 1227053086474576x15 + 9643830492112x14 – 39555663371820x13 – 9295495500540x12 – 934285988008x11 + 41589077464x10 + 30952961972x9 + 5383695300x8 + 477203760x7 + 6183344x6 – 4419385x5 – 672357x4 – 54130x3 – 2674x2 – 77x – 1
3 27 16x24 – 128x23 + 536x22 – 2088x21 + 4977x20 – 12258x19 + 20672x18 – 36126x17 + 51043x16 – 73408x15 + 104128x14 – 137928x13 + 175090x12 – 181700x11 + 155936x10 – 92916x9 + 32222x8 + 6608x7 – 16568x6 + 8192x5 – 1843x4 – 490x3 + 128x2 + 2x – 1
3 30 21508124014x29 + 32054106929x28 – 17306462662x27 – 25038151480x26 + 45587477052x25 + 38755887413x24 – 43255133604x23 – 45501640088x22 + 10460524458x21 + 17929512405x20 – 4828786226x19 – 5447284224x18 + 4496890016x17 + 4235161545x16 – 436447576x15 – 1539874224x14 – 487336414x13 + 100621747x12 + 97938998x11 + 20609352x10 + 665516x9 + 320703x8 + 272188x7 – 6712x6 – 34298x5 – 7289x4 + 386x3 + 368x2 + 56x + 3
3 31 762939453125x66 – 7749023437500000x65 – 549435976806640625x64 – 11954964334375000000x63 + 46354290204062500000x62 + 296025528806187500000x61 + 490694826896712500000x60 – 2924709240882350000000x59 – 6800355886385641875000x58 – 366339002678087500000x57 + 24369506192176385375000x56 + 27001547365967091000000x55 – 21809158347127162000000x54 – 57924024899601366500000x53 + 216864844649587000000x52 + 85459665184041748000000x51 + 54781050077892013637500x50 – 58750644174610964300000x49 – 82881366173951176087500x48 + 10813834042651693800000x47 + 68671909889015111100000x46 + 21880288415145669500000x45 – 33835279909942372260000x44 – 28742278663291060560000x43 + 5059474474277195855000x42 + 18072340935967350180000x41 + 5081122618349672485000x40 – 7348044648411661000000x39 – 4855343931749555912000x38 + 1756201950891108268000x37 + 2191537623864678896000x36 – 149574226224283200000x35 – 601704498228424443250x34 – 31377517351471092000x33 + 105699566552688975850x32 + 7583888617243473600x31 – 11670500395907146400x30 + 897723129303914400x29 + 727136477631583200x28 – 648477435737936000x27 – 15984936748662600x26 + 140013663478850400x25 – 729722733211800x24 – 18513532467761600x23 + 83825458355200x22 + 1742577366650400x21 – 11081142856000x20 – 124659358585600x19 + 1556588076380x18 + 7006344894560x17 – 185033832620x16 – 323267164480x15 + 18407781280x14 + 13515780640x13 – 1414879840x12 – 552613760x11 + 81291880x10 + 19660000x9 – 3587720x8 – 472000x7 + 128960x6 + 5280x5 – 3840x4 + 85x2 – 1
3 32 6561x22 – 4374x21 – 94041x20 + 1289844x19 + 3605067x18 – 4301046x17 + 6019389x16 + 238896x15 – 10407366x14 + 7894164x13 + 7975830x12 – 7790088x11 – 3481466x10 + 3831332x9 + 843658x8 – 1303376x7 – 311819x6 + 148290x5 + 39667x4 – 3660x3 – 1185x2 + 18x + 9
4 9 16x3 – 16x2 – 4x + 1
4 10 6x – 1
4 11 8x3 – 12x2 – 2x + 1
4 12 4x – 1
4 13 5632x9 + 9472x8 – 3072x7 – 5888x6 + 544x5 + 944x4 + 152x3 – 44x2 – 14x – 1
4 14 58x7 + 174x6 + 140x5 – 16x4 – 54x3 – 10x2 + 4x + 1
4 15 36x4 – 18x3 + 10x2 – 1
4 16 256x10 + 1024x9 + 256x8 – 1152x7 + 160x6 + 176x5 – 144x4 + 36x3 + 37x2 – 6x – 3
4 18 14424x16 + 42932x15 + 18232x14 – 62100x13 – 53831x12 + 41528x11 + 46442x10 – 18248x9 – 20977x8 + 6180x7 + 5372x6 – 1556x5 – 721x4 + 240x3 + 34x2 – 16x + 1
4 19 3x2 + x – 1
4 20 3x2 + x – 1
4 21 16x8 – 128x7 – 64x6 + 32x5 + 72x4 + 32x3 – 16x2 – 8x + 1
4 23 2x – 1
4 24 2x – 1
4 26 3392x6 + 2112x5 – 496x4 – 656x3 – 132x2 + 6x – 1
4 27 794x5 + 393x4 – 344x3 – 82x2 + 6x + 1
4 29 134217728x58 + 4697620480x57 + 161598144512x56 – 180757725184x55 – 9008861675520x54 + 44334447591424x53 – 83919139504128x52 + 98587941797888x51 – 181832408104960x50 + 316581256626176x49 – 90076763127808x48 – 537023456608256x47 + 604830226120704x46 + 254556736454656x45 – 752724353286144x44 + 54249034416128x43 + 644033914798080x42 – 107040978763776x41 – 560570197295104x40 + 6859761270784x39 + 499220015497216x38 + 90040966848512x37 – 380613267726336x36 – 124450276397056x35 + 230245747986432x34 + 109643677564928x33 – 105946394147840x32 – 73517100673024x31 + 32119186237952x30 + 37184308716032x29 – 1979817458176x28 – 13072126472960x27 – 4235166430720x26 + 2344880983552x25 + 2853044827712x24 + 532918979008x23 – 1043701990592x22 – 610331035168x21 + 229379699680x20 + 265097468112x19 – 18621871032x18 – 76317870584x17 – 7228205676x16 + 15826810374x15 + 3577929127x14 – 2318270796x13 – 851229809x12 + 214632938x11 + 128263091x10 – 7704392x9 – 12478145x8 – 748486x7 + 737925x6 + 114164x5 – 21803x4 – 6010x3 + 57x2 + 120x + 9
5 11 45x3 – 25x2 – 5x + 1
5 12 25x4 + 30x3 + 24x2 + 2x – 1
5 13 17x3 – 5x2 – 5x + 1
5 14 5x – 1
5 15 5x – 1
5 16 5x – 1
5 17 9x4 – 16x3 – 10x2 + 1
5 18 484x5 – 488x4 + 97x3 + 17x2 – x – 1
5 19 57x6 – 38x5 – 109x4 + 32x3 + 23x2 – 10x + 1
5 20 5x3 + 13x2 – x – 1
5 21 869312x14 + 8798656x13 – 1062776x12 – 10586775x11 – 968269x10 + 3532907x9 + 188249x8 – 659974x7 – 11746x6 + 72246x5 – 806x4 – 5267x3 – 97x2 + 207x + 21
5 24 1620x10 + 5508x9 – 5751x8 – 2406x7 + 2055x6 + 276x5 + 559x4 – 210x3 – 127x2 + 48x – 4
5 26 524800x23 + 4355041x22 + 12847946x21 + 19153517x20 + 21850072x19 + 23648850x18 + 22411486x17 + 14303202x16 + 3883390x15 – 2036811x14 – 4180690x13 – 3335803x12 – 809642x11 + 335179x10 + 208142x9 + 70923x8 + 28042x7 – 4402x6 – 6624x5 – 798x4 + 330x3 + 63x2 – 4x – 1
5 27 1119771x15 – 2830137x14 – 1546771x13 + 5257986x12 + 1128383x11 – 2395071x10 – 835223x9 + 3296x8 + 279089x7 + 182809x6 – 10649x5 – 22406x4 – 3595x3 + 127x2 + 67x + 4
5 29 7558272x31 – 140877792x30 + 761392386x29 – 2056857705x28 + 12778454376x27 – 9234224127x26 – 152236269396x25 + 251208094662x24 + 485200038816x23 – 1070947057734x22 – 655636028274x21 + 2081656808361x20 + 417978163944x19 – 2474314751169x18 + 248887789152x17 + 1543781797668x16 – 336701441280x15 – 565486924276x14 + 132444694590x13 + 133931442297x12 – 24823009608x11 – 21199487889x10 + 2147658044x9 + 2171347238x8 – 25502752x7 – 130779014x6 – 8612494x5 + 3809703x4 + 506360x3 – 29199x2 – 8072x – 368
5 30 269x7 – 1419x6 – 283x5 + 405x4 + 15x3 – 9x2 – x – 1
5 31 131813361x20 – 731458980x19 + 1012289262x18 + 274194380x17 – 1451653075x16 – 56793808x15 + 1045838760x14 + 84095280x13 – 606236238x12 – 195879416x11 + 142245076x10 + 89397096x9 + 5543250x8 – 8401424x7 – 3008600x6 – 417936x5 – 8483x4 + 5244x3 + 750x2 + 44x + 1
5 32 8x10 – 40x9 + 74x8 – 78x7 + 73x6 – 10x5 – 3x4 + 18x3 – 9x2 – 2x + 1
6 13 96x3 – 36x2 – 6x + 1
6 14 237299200x13 + 463738880x12 + 366062080x11 + 142462784x10 + 23021376x9 – 2398832x8 – 1849600x7 – 343428x6 – 1802x5 + 11443x4 + 1390x3 – 128x2 – 20x + 1
6 15 20x2 + 4x – 1
6 16 6400x5 + 960x4 – 1024x3 – 32x2 + 31x – 1
6 17 400x4 + 240x3 + 16x2 – 8x – 1
6 18 784x8 – 280x7 – 1191x6 + 120x5 + 218x4 – 62x3 – 31x2 + 2x + 1
6 20 14x – 3
6 23 4x – 1
6 24 4x – 1
6 25 4x – 1
6 26 4x – 1
6 27 4x – 1
6 28 10x – 3
6 31 3x – 1
6 32 3x – 1
7 15 175x3 – 49x2 – 7x + 1
7 16 85823999x12 + 153503984x11 + 163426326x10 + 92426704x9 + 29708081x8 + 9292960x7 + 2252404x6 + 410976x5 + 29489x4 – 3216x3 – 746x2 – 48x – 1
7 17 125998198321917392989919022595317x48 + 993033509449311326134696169231122x47 + 3752248327200066770687375692539686x46 + 8955158465726530265612401238780138x45 + 15007364215887293115858590752506170x44 + 18582312869988955755046896791034362x43 + 17398454256724475463270552736728846x42 + 12340249950977774848909258312869330x41 + 6457098398753576023330165931609144x40 + 2263122016312540000604017995134782x39 + 314828563456342547964236008385066x38 – 177579034616420008419141554622362x37 – 137348191835973197189745676674066x36 – 42702739808756989271422234943546x35 – 3096465435381678859958012957294x34 + 2983247678463712395049009052462x33 + 1330683210419223946267107795885x32 + 200508423264171416624064557236x31 – 33254311832642939370952336900x30 – 21993233538957427585670435292x29 – 3812814026325803718729989596x28 + 214098631481038052344113028x27 + 228709751658607587974535244x26 + 40150466235528538268095988x25 – 747593026805040485716200x24 – 1579936001334212279880772x23 – 267450005683160048518252x22 + 143104862796579626508x21 + 7360876301341395343292x20 + 1183398078910690852620x19 + 13115715182908335396x18 – 23033869432963953444x17 – 3518165198645476577x16 – 71920091568688102x15 + 47104211363236990x14 + 6917600084602194x13 + 204507747167810x12 – 58734651593630x11 – 8591773464250x10 – 343380773734x9 + 37260038384x8 + 6065620262x7 + 321676450x6 – 4131538x5 – 1774922x4 – 128178x3 – 4950x2 – 106x – 1
7 18 47x2 + 2x – 1
7 19 1280x6 – 352x4 – 48x3 + 37x2 + 3x – 1
7 20 23x2 + 2x – 1
7 22 19x2 + 2x – 1
7 23 19x2 + 2x – 1
7 24 19x2 + 2x – 1
7 25 31x2 – 2x – 1
8 17 288x3 – 64x2 – 8x + 1
8 19 120167863410491392x29 – 59590763696095232x28 – 76119519931662336x27 + 24767733589606400x26 + 12079697995235328x25 – 10338948633067520x24 – 5431731731562496x23 + 213918450974720x22 + 1245182995202048x21 + 467239418200064x20 – 109683826491392x19 – 132535030185984x18 – 26502882410496x17 + 9913949683712x16 + 6281524035584x15 + 851870894080x14 – 327250048000x13 – 152445557248x12 – 14835825920x11 + 5459137408x10 + 1820496320x9 + 106465088x8 – 44725024x7 – 9101472x6 – 55332x5 + 158896x4 + 14755x3 – 459x2 – 127x – 5
8 20 224x3 + 60x2 – 2x – 1
8 21 28x2 + 4x – 1
8 22 28x2 + 4x – 1
8 23 5521700484255070385798883894624256x68 + 93535811217563785735453865662218240x67 + 667163533183396974906813981069934592x66 + 2432727994101205870754617407829966848x65 + 3496236871574823891927448015316451328x64 – 7892400326103461562277860681894068224x63 – 52077024505902658098639946831898869760x62 – 125217661849986056352858508936985182208x61 – 157193750240183171617639720590162001920x60 – 49475927963781682363413558698300145664x59 + 187362086766733535339692491507478036480x58 + 368560702684960109712548233898799136768x57 + 300338494898555831667286429066231545856x56 + 14562039678035757842653964016694591488x55 – 243587687866855077363084554498916483072x54 – 278660661533650351855347063942543310848x53 – 127585463700288403641753069840410607616x52 + 33257584966232614951257080143896641536x51 + 89178229619916210519031111271948746752x50 + 57275756801171310946352817118447140864x49 + 9647183632991237749212354115203497984x48 – 12156553226548483263052941843312410624x47 – 10818165071693813265392947808557858816x46 – 3461162292477053885485911785202515968x45 + 566255673527248973627570288064462848x44 + 1061657563615297007053343011104620544x43 + 445835150545333119788972415247187968x42 + 33053501774587611045777452440748032x41 – 56666678886584595816511120281174016x40 – 30532343657934709446570842160889856x39 – 5528445541652512341841168240214016x38 + 1489432393763531468568961304494080x37 + 1211648656343260942079786316201984x36 + 303159349192943898167221191966720x35 – 5162173267562262674537765928960x34 – 28035623775117230936790449258496x33 – 8866294294585555906798204813312x32 – 773544276000157852115255951360x31 + 354539641340874598635641765888x30 + 149958850685677803955604422656x29 + 21931928380082391177509175296x28 – 1803570981998034168665931776x27 – 1479561319797955521461551104x26 – 283016190473041674402922496x25 – 8240685077749556532633600x24 + 8233507082377536533463040x23 + 2019924053970704222003200x22 + 167143293115336211709952x21 – 22013601988951125637120x20 – 8202940713660858552320x19 – 967362691084893472768x18 + 1630441179820457984x17 + 17961169677979853312x16 + 2751603057693476864x15 + 139294803493127680x14 – 17023746029512192x13 – 3931081977460800x12 – 320403675343232x11 – 2013999223296x10 + 2409317280768x9 + 279388037456x8 + 14292742208x7 – 45762192x6 – 65599328x5 – 5468396x4 – 255512x3 – 7452x2 – 128x – 1
8 24 4x4 – 4x3 – 27x2 – 2x + 1
8 25 30767579136x18 + 24142675968x17 – 55382704128x16 – 21789278208x15 + 19306561536x14 + 8502165504x13 – 966488064x12 – 884391936x11 – 157079552x10 + 15431680x9 + 17445888x8 + 1272832x7 – 780672x6 – 59776x5 + 18624x4 + 864x3 – 220x2 – 4x + 1
8 26 21504951447085138950750208x40 – 238057277770143718264799232x39 – 4383547284432462594002911232x38 – 12014208460447347922176049152x37 – 430476453797243831443259392x36 + 13665695573901128204793413632x35 + 6727353454184761158740738048x34 – 2322442507908002209134018560x33 – 1430918874612176982487597056x32 + 513795007552116931094904832x31 + 175308795674255260414640128x30 – 116264106695350816430096384x29 – 14871294076435946023157760x28 + 16258542092999438716895232x27 – 1190145923142014115774464x26 – 1784184508632499620937728x25 + 594147986827093357887488x24 + 199702633537268172718080x23 – 88069851122124093128704x22 – 20657019153418800857088x21 + 7741572829316890230784x20 + 1653845452648483913728x19 – 466768741874003869696x18 – 97004979363491348480x17 + 20625018126541520896x16 + 4174030074526302208x15 – 692874406813237248x14 – 132972494382432256x13 + 18040414292279296x12 + 3143424127336448x11 – 365646168203264x10 – 54618057261056x9 + 5701764259840x8 + 679538786304x7 – 66280071168x6 – 5741376768x5 + 540608256x4 + 29548800x3 – 2752704x2 – 69984x + 6561
8 27 13221437821157376x32 – 20301095675363328x31 – 45539973097390080x30 + 85671232651689984x29 + 39058005311823872x28 – 62415319523606528x27 – 49397612527596544x26 – 4668087974142464x25 + 13372104238886400x24 + 10535289848732416x23 + 3184649526622336x22 – 176932739052672x21 – 500418041551424x20 – 263444230968672x19 – 102357661045348x18 – 16806084814342x17 + 7677522351888x16 + 5338890032093x15 + 1359278340599x14 + 105717601621x13 – 55593679261x12 – 29401875175x11 – 6894743533x10 – 464557063x9 + 180061947x8 + 51312087x7 + 4182309x6 – 333321x5 – 89679x4 – 4941x3 + 213x2 + 33x + 1
8 28 36x4 + 24x3 – 36x2 + 1
8 32 95x2 – 4x – 4
9 19 441x3 – 81x2 – 9x + 1
9 20 63x2 + 6x – 1
9 21 63x2 + 6x – 1
9 22 662x4 + 23x3 – 67x2 – 3x + 1
9 23 138601725696x16 + 190276978176x15 + 81726705216x14 – 1109579904x13 – 12081367908x12 – 3601545032x11 – 18274696x10 + 190659516x9 + 28416823x8 – 4404944x7 – 1681516x6 – 103944x5 + 21190x4 + 3320x3 + 28x2 – 20x – 1
9 29 31x2 + 2x – 1
9 30 31x2 + 2x – 1
9 31 31x2 + 2x – 1
9 32 31x2 + 2x – 1
10 21 640x3 – 100x2 – 10x + 1
10 24 613376x8 – 228096x7 + 40432x6 + 16416x5 – 8016x4 – 216x3 + 184x2 – 1
10 28 92x2 – 4x – 1
10 29 1048576x13 – 7405568x12 + 18612224x11 – 25821184x10 + 20357120x9 – 9419776x8 + 2347264x7 – 166976x6 – 60544x5 + 15040x4 – 568x3 – 193x2 + 26x – 1
10 31 959694194388174715650339807402327771168x64 + 16107292953152423257277423816358360385392x63 + 90540360244591566249018316892243447613528x62 + 197058346307242646657595663152311339442076x61 + 110405400463645381591070759245747231918560x60 – 231897028414934384777400732287564996612562x59 – 405735069243610607042833386198372411316935x58 – 131314557942710280076668264989757432652988x57 + 209537900575210032585084408163105462618139x56 + 210830041975412142706676211944399890537162x55 + 12196374941154735183281887131247546733379x54 – 82295757165824737663523081072999487026036x53 – 41231303614626322543563814030707770027195x52 + 9156198499440249037424682434288515225252x51 + 15337364364034556712929671684745864103220x50 + 3349834213299982669145540080060318503880x49 – 2405686782841821113345262209462393244104x48 – 1557149990243945648975295000094522637720x47 – 48914578112423383986426975468405651416x46 + 267789482303019988591473799301416789912x45 + 93535355396355910767374749317692812216x44 – 12615564052098176183836359396286826528x43 – 17229133395243803394018113369780083040x42 – 3358091308966245759721406950529646656x41 + 1174967263348410092631693698246588608x40 + 710048011698346101077459614492683808x39 + 64026431151951375068677542096278416x38 – 54662126163915752135256681251244992x37 – 19859292602021158568093495091482096x36 – 40118060335053859972863078980960x35 + 1649498991816031541073987253690048x34 + 387713961615344659578498501245344x33 – 34993864858022141679005910084992x32 – 35138048715209584513403387475008x31 – 5243941450438182024018844229408x30 + 1126722087398806589581281058048x29 + 547408488266046553233758386336x28 + 45348153507504662342436320128x27 – 20809637725839678960316429376x26 – 6299562017865557489004060032x25 – 156647541799059189427658432x24 + 262338263422946097751312768x23 + 53014741185582228659637376x22 – 1751480937140358197161088x21 – 2353390159896238148690816x20 – 314394317620977309238016x19 + 32149138600220987153152x18 + 14991210112852493639680x17 + 1196716877062717284352x16 – 256470594625851341312x15 – 65366033814250521344x14 – 2059597736935583744x13 + 1203662104675501312x12 + 177536820602930176x11 – 3171102199536896x10 – 3214914911171072x9 – 249279077636864x8 + 19586713318912x7 + 4250558639872x6 + 120626781184x5 – 24882871040x4 – 2182530048x3 + 5866496x2 + 7569408x + 262144
10 32 279x4 – 420x3 + 102x2 – 1
11 23 891x3 – 121x2 – 11x + 1
11 24 308630377356759397764211223357x54 + 1250056903993285440424882267506x53 + 451292039064668138547999818511x52 – 4547920040343804083169631697844x51 – 5626565634710479301047529020265x50 + 5722895114255640051007214751066x49 + 13093586798768786756663935291581x48 – 940135003800188601980533517648x47 – 14738379000277117807078073016026x46 – 4925238025492962657346761070868x45 + 8878363958398281004073370302658x44 + 5106412855379130112779751480344x43 – 3379635397470323334474380551414x42 – 2370821188042526192163815183732x41 + 1538348642180283379811015956718x40 + 1219388950591311271201663654384x39 – 505541072768961703685592384689x38 – 611940725177500458452809285866x37 – 11356880213393086675575963211x36 + 163048424579837532740090246132x35 + 50880875111703587831629192277x34 – 16303369047447452177010246050x33 – 12499571953118467066476229657x32 – 936846628550057753763599008x31 + 1247140951992854755720566404x30 + 371862130936411858661327240x29 – 34711506423203157368176532x28 – 36077756575137545648092848x27 – 4099277399042241746375556x26 + 1552870132400598980647432x25 + 473345318816097215337556x24 – 7366716486805066825376x23 – 22133129409250421557877x22 – 2551020705972905876482x21 + 490281481175088474633x20 + 137021779722001436404x19 – 13758402687375279x18 – 3558603380932936714x17 – 315632746296438725x16 + 47960610546958320x15 + 9442533113071350x14 – 135212425888820x13 – 145622650373710x12 – 6616087859176x11 + 1290440327642x10 + 125025072044x9 – 5672798754x8 – 1117518672x7 – 2083511x6 + 5657402x5 + 151123x4 – 15540x3 – 669x2 + 18x + 1
11 28 96x2 – 1
11 30 9x – 1
11 31 1880159x4 + 662980x3 + 23850x2 – 9500x – 625
12 25 1200x3 – 144x2 – 12x + 1
12 26 14x – 1
12 29 496x4 + 92x3 – 57x2 – 8x + 1
12 30 3856x4 + 1456x3 + 100x2 – 12x – 1
12 31 863x2 + 6x – 9
12 32 863x2 + 6x – 9
13 27 1573x3 – 169x2 – 13x + 1
13 28 15x – 1
13 29 2576x4 – 640x3 – 184x2 + 1
13 30 55x2 + 10x – 1
13 31 55x2 + 10x – 1
13 32 55x2 + 10x – 1
14 29 2016x3 – 196x2 – 14x + 1
14 30 16x – 1
15 31 2535x3 – 225x2 – 15x + 1

Real projective codes

n N Minimal polynomial
3 4 3x – 1
3 5 5x2 – 1
3 6 5x2 – 1
3 7 3x2 – 1
3 8 1537x9 + 677x8 – 584x7 – 80x6 + 146x5 – 78x4 – 80x3 – 8x2 + 5x + 1
3 9 13x3 + x2 – 5x – 1
3 10 2x2 + 3x – 3
3 11 5x6 + 200x5 – 115x4 – 40x3 + 15x2 – 1
3 12 17x2 – 14x + 1
3 13 x5 + 13x4 + 42x3 + 42x2 – 75x + 9
3 14 620141535144576532186425x111 + 38068438093151880625170885x110 + 922116325587625144662971112x109 + 10663557538128920052284890668x108 + 50176131816106177685896714351x107 – 98709885374933604095613917541x106 + 2961785945665870386284091194362x105 + 174080475200140381482803232275038x104 + 2704704670021673953617843745818691x103 + 21380223943815998056386032213631863x102 + 99466665211595135365371862858912068x101 + 309353592251396003499135857985252096x100 + 755537713372765069837359237866871781x99 + 1440840991427446102154881766696385241x98 + 1600625727651295242251048883983268498x97 + 307661698789790518649588145669522894x96 – 3057465648903772890793207844826201586x95 – 11923148857522071724362634811048565322x94 – 16589273082501028743242944835188645664x93 + 8894868791840835519910357478295141272x92 + 44821410812003253974206447254229369506x91 + 29318903867953318764538973102713372042x90 – 32571370242172886135753568200778386852x89 – 65772341967031219603220346757894593452x88 – 24743775302375785823448963535586900814x87 + 56247470617886464426998386905230910634x86 + 74405793352398862368630270078424953064x85 – 14286028472166047422524070113282007408x84 – 82789874598037368812893197707275347906x83 – 20858000772573730428579518221863117770x82 + 62244797249468694342196204772393015900x81 + 34649234244419355459112562193984660356x80 – 34718687624576487968820925353864680893x79 – 32998860315109915337509073487060566585x78 + 11541857159419463316205752250128325224x77 + 23478764061836294629594372361889587156x76 + 2394009483330911805451255977810811893x75 – 12473355053608259568392427976990003751x74 – 6847663920621925634792157473551521298x73 + 4895557248841765788205919951266851130x72 + 5930738264586504382504504562645381689x71 – 1672392252209499709848111662037372075x70 – 3953221357369824521777778924116053412x69 + 801995693843009178209852480337607952x68 + 2569217872503329101456945826896845119x67 – 475012972888121224058133068924529381x66 – 1659323592493843267526005745035054842x65 + 184276921775900325616093971801613498x64 + 954985119797274478297532130858815988x63 – 8884204604629115575638559177116572x62 – 453904331192783852256415943237352576x61 – 31405790075434835463785956213280432x60 + 177298296343911155099318925133197612x59 + 16750926870808195594172933786091804x58 – 60172302464800532610287856426348248x57 – 2878975228931469663981518529175432x56 + 19516110769132448717224535938728684x55 – 1067553044131580007194584483639620x54 – 6435291055556297347593517082117072x53 + 918789098615574340952942921840160x52 + 2082570540530861090274905556393652x51 – 358172111770713539887205958714236x50 – 610777845630980377597692820162328x49 + 103272865554644876742076341382616x48 + 154021435316860522471117280495279x47 – 27602188795679222138509275947645x46 – 33114371997454266655042242192712x45 + 7907525869485973932320356782228x44 + 6307681987383613840138674501353x43 – 2320368653738625585053302319587x42 – 1156871119610599917377001793610x41 + 615606472938367740198340920946x40 + 219748883306607459461001520645x39 – 138572612709006885889495955407x38 – 42361618635382916161883716292x37 + 26424914542182366544738900128x36 + 7674354737025496810478766227x35 – 4415272110503818412420418561x34 – 1262229004375640691994295554x33 + 674713083105582064474928610x32 + 195334967058175960822097438x31 – 95311788729136547777624698x30 – 30030418915580598914273120x29 + 11822288844652217230953624x28 + 4511358943150103661564690x27 – 1153425151184092000767558x26 – 604506189177915799021124x25 + 70760404626329892081908x24 + 65687390075031664235842x23 + 7343723994949039610x22 – 5379133889506557699224x21 – 540586377304220037808x20 + 308257696805237141806x19 + 63172625967714800614x18 – 10717093810505457668x17 – 4064941144887620764x16 + 101114077682589621x15 + 163436080812387153x14 + 9632704778109688x13 – 4045809265043476x12 – 521652283212333x11 + 54579688576271x10 + 12739420398882x9 – 189803577290x8 – 173364006241x7 – 4932311133x6 + 1320832676x5 + 72580432x4 – 5150167x3 – 385171x2 + 7722x + 726
3 15 725x12 + 13490x11 + 2464x10 – 19426x9 + 4429x8 + 6132x7 – 4728x6 + 252x5 + 1119x4 – 454x3 + 88x2 + 6x – 1
3 16 45x4 – 30x2 + 1
4 5 4x – 1
4 6 3x – 1
4 7 4x2 + x – 1
4 8 x2 + 2x – 1
4 9 3x2 + x – 1
4 10 3x2 + x – 1
4 11 2x – 1
4 12 2x – 1
4 13 11x2 – 8x + 1
4 14 1024x14 – 3008x13 + 960x12 + 5888x11 – 5744x10 – 3812x9 + 6328x8 + 552x7 – 2728x6 – 57x5 + 605x4 + 68x3 – 56x2 – 15x – 1
4 15 768x10 – 256x9 – 1984x8 + 768x7 + 1632x6 – 728x5 – 388x4 + 240x3 – 51x2 – 18x + 18
4 16 x2 + x – 1
5 6 5x – 1
5 7 x3 – 9x2 – x + 1
5 8 169x7 + 27x6 – 15x5 – 21x4 – 29x3 – 7x2 + 3x + 1
5 9 3x – 1
5 10 3x – 1
5 11 29x5 + 43x4 – 38x3 – 10x2 + 9x – 1
5 12 4x2 + x – 1
5 13 81x7 + 189x6 – 119x5 – 75x4 + 43x3 + 15x2 – 5x – 1
5 14 49x4 – 26x3 – 16x2 + 10x – 1
5 15 x2 + 2x – 1
5 16 5x2 – 1
6 7 6x – 1
6 8 106x6 – 264x5 – 53x4 + 84x3 + 20x2 – 4x – 1
6 9 18x7 – 185x6 – 222x5 + 75x4 + 150x3 + 33x2 – 10x – 3
6 10 2x2 + 3x – 1
6 11 10x2 – 1
6 12 10x2 – 1
6 13 3x – 1
6 14 3x – 1
6 15 3x – 1
6 16 3x – 1
7 8 7x – 1
7 9 5x – 1
7 10 x2 + 4x – 1
7 11 76x5 – 44x4 – 31x3 + 13x2 + 3x – 1
7 12 11x – 3
7 13 13x2 – 1
7 14 13x2 – 1
7 15 5152x8 + 4848x7 – 3364x6 – 2896x5 + 1057x4 + 572x3 – 158x2 – 36x + 9
8 9 8x – 1
8 10 19x2 + 2x – 1
8 11 253342x19 – 1560445x18 + 25746x17 + 10280209x16 + 2786088x15 – 26799812x14 – 30699504x13 – 4439348x12 + 10256804x11 + 5384474x10 – 355532x9 – 890634x8 – 141496x7 + 53068x6 + 16672x5 – 724x4 – 690x3 – 37x2 + 10x + 1
8 12 10x2 + 2x – 1
8 14 1856x11 + 7264x10 + 184x9 – 9760x8 – 1448x7 + 1785x6 + 186x5 – 17x4 + 16x3 – 17x2 – 2x + 1
8 16 9x4 – 14x2 + 1
9 10 9x – 1
9 11 4049x6 – 2188x5 – 907x4 + 208x3 + 59x2 – 4x – 1
9 12 19x2 + 2x – 1
9 14 1948x8 – 3089x7 + 369x6 + 1239x5 – 231x4 – 139x3 + 27x2 + 5x – 1
9 16 17x2 – 1
10 11 10x – 1
10 12 7x – 1
10 13 158x5 + 349x4 + 28x3 – 38x2 – 2x + 1
10 14 549015032919966508138027677096272016384x84 + 6679897366741564542669179503619975672064x83 + 18204064532670051706624005126594893268688x82 – 41226321918585187491952527852914749154016x81 – 309676799344329854634732833082047900405236x80 – 579652469384463466729523793166508168989480x79 – 192320984680828074315720279289724524876700x78 + 666328606894112719661461254657260924647220x77 + 587319582007024096311992585097072551804177x76 + 80312374966214657933447293494421807794492x75 + 2117541861269578856193675291427554785273940x74 + 5286369783964828558083256333782184510699248x73 + 2534334899699302962701778809962982615210610x72 – 6297049932420282222611439739978276109843368x71 – 9802003955724905080624132914886440867996208x70 – 1929830066518532099787375282493559591156308x69 + 7086823290090363698800387877121569083312433x68 + 6185599716298329793884998682501500713427508x67 – 867377281960267872274356507202018967474336x66 – 3974253940801766931040571033044776837124432x65 – 1498608885690605597844613947637139884584848x64 + 1135174130289385494946009148938906599199328x63 + 1074843147381610865468532766471926842907312x62 – 22202563069898216309133559416849738786480x61 – 374290714054113911200079956872967073797772x60 – 112100868233691328004222130939184365552144x59 + 75275899513599253611133723575145116852080x58 + 50678941219684140032931956675205952160064x57 – 5837133601845912913148056289317706852904x56 – 13156305721385501065221404387866967338272x55 – 1649424560328248413889887322927979395296x54 + 2332435342712987636490040781587079396080x53 + 765706373259878222807975540929574968868x52 – 279806299002221725089130530892838273776x51 – 176640311484655516515375758032493104960x50 + 16604438108394935632249969053954942720x49 + 29027747985771283279368340885400824024x48 + 1668920470547361202117583624215987024x47 – 3688461843479356164813539358115017704x46 – 662983163324571663170459343027357288x45 + 369431596736882303173053445262213774x44 + 115755045621998306943652746110878216x43 – 28385004177461287479632112465009096x42 – 14652999255367573451274364798989408x41 + 1452163571194008771261145895186892x40 + 1485754346810150787463719085821648x39 – 7379388250356194259006074509696x38 – 124963368353449649563667836142232x37 – 8595845904149874765548708108162x36 + 8820521741431326201447090963032x35 + 1204719378524791044255058393376x34 – 521322383365384812529934319968x33 – 109317168634861476450418321600x32 + 25369212319556138374915759328x31 + 7724557381519704131426927152x30 – 972249943822614131528769776x29 – 448475949668100785117076860x28 + 25610068999288549600832048x27 + 21850929779394410065205232x26 – 150866740923546977602240x25 – 901283007918243133519848x24 – 29722602900362174616992x23 + 31555579259631052209504x22 + 2109704230628849486000x21 – 937022607598102968940x20 – 91179355041979527344x19 + 23526026748878333680x18 + 2963522946411978080x17 – 497284457682777476x16 – 76438056501634920x15 + 8812660024804516x14 + 1588832748571348x13 – 130696299179927x12 – 26567284875108x11 + 1627657985044x10 + 352162805488x9 – 17173264174x8 – 3590525032x7 + 153787696x6 + 26625356x5 – 1123687x4 – 128492x3 + 5888x2 + 304x – 16
10 15 6x3 – 7x2 – 4x + 1
10 16 5x – 1
11 12 11x – 1
11 13 89x5 – 103x4 – 138x3 – 42x2 + x + 1
11 14 x3 + 21x2 + 3x – 1
11 15 56804217966753831884369680610237588x102 + 1600767894577143349780727874680377018x101 – 119793196992507134288097116999737852x100 – 168022541921533968359827412672799934309x99 – 653885871887580416485634237875361334891x98 + 4994343133448723885894806139085769150055x97 + 35446290707750888838886455999836728899093x96 – 6061953235029491167281725903713329807640x95 – 567637511262670817012819045044697346126400x94 – 1242461101478910803255462315650155808347488x93 + 2278555040840862532930301456876363083641744x92 + 11494956728294826376804968311653369223964620x91 + 2630874135855686604348490957207179431757548x90 – 50296707037580177515274724752254764261603588x89 – 61521380634972578331527592018768514167195012x88 + 132079119883804959048921323322692815942006584x87 + 350987288350152189263202300865185186153583656x86 – 37665368355328390267160535755087392588525988x85 – 1005758748570082536631735923999977089340505640x84 – 989976730078590865527021958209274930400398938x83 + 1087476080043401308036810026389888824853577490x82 + 2960452474557604157692410349447282402917951390x81 + 1136914055774743115176352064191544027693484898x80 – 3251142669458335581407562546976898231437864392x79 – 4463732895049600472699456055058893044012614336x78 – 123565557960623671688561244156132166380169104x77 + 4593319744578910101776486387177287034656020336x76 + 3843492688090437311298558642441871247949799292x75 – 955313863742274971332078551203809105424279028x74 – 3712331342416720013874232619686842478217345364x73 – 1984891358390696612488477039914073470667858948x72 + 1035018610243312986427603873317460507309162280x71 + 1853823388849186286410163118867561714587912012x70 + 611282155501781669821412107441137205517811102x69 – 546347019162344173921534156224905517767290612x68 – 589649802205120542447796066231576085721956923x67 – 94891438402597778337928984391978442017762125x66 + 175264449859949293950316487504858075704529945x65 + 117884670956060375844254459222633924142534115x64 – 3432153868968725422962012083142161465496176x63 – 36932196599284014404681237962912501063013760x62 – 13479316384600292427760721476875223342643584x61 + 4944441452470433182580896530998085276123808x60 + 5075831587233456840963800980300870618776088x59 + 367396342393728762421720633194291593873176x58 – 1109446027409578471247747242824158524584584x57 – 400959503814562787254663694205168223273288x56 + 146752206708282813042050160850566209326000x55 + 133230298888610036838327690359159238963632x54 + 5414390795068923736893176368054795007208x53 – 26990849401661740105367348018546828806128x52 – 8991063359222013182710942090473440575660x51 + 2600459064601787134398534467170025696860x50 + 2390878792698730287828733366594353817700x49 + 233296176249026521082513008258331246460x48 – 319900048226765126551188105043451948304x47 – 121798368740858405356898983244181304960x46 + 13262550429305590351432434036357274016x45 + 19545978719442464304001213515367397856x44 + 3163046484855372501004870409201812696x43 – 1531780808658161335589835595243830472x42 – 698866178424527285277186431160230984x41 + 3048220965773324442199214674410776x40 + 68317001297518552399078243732428752x39 + 13785389733351449375230464832499436x38 – 3109281201146908634185249451512042x37 – 1703235166922386593857840782474532x36 – 78607582360814049603459048076587x35 + 107229862220629305934154247193931x34 + 23621440518159344580601589849865x33 – 2851584494233929503039217720277x32 – 1853610867779236699663443114488x31 – 126092783528327696342528400448x30 + 78458448985800856872788812384x29 + 17474851859899444805097891024x28 – 1215253823468863444334657764x27 – 925310149949245113758556804x26 – 70385384513181660664387956x25 + 26806903970696673359808844x24 + 5820984243113426700190872x23 – 222651906722604007805016x22 – 211488114069384377092996x21 – 16944189234589443313512x20 + 4100843461203584393574x19 + 878068974333937025714x18 – 10829382020002712610x17 – 21238203293887769534x16 – 1825329535109191592x15 + 250291913808649536x14 + 56478894987291248x13 + 765723885884336x12 – 814344881005908x11 – 79159581446340x10 + 4048031918748x9 + 1238555073644x8 + 54140641672x7 – 7108003916x6 – 949035822x5 – 22092908x4 + 3556459x3 + 345165x2 + 12951x + 189
11 16 9x2 + 4x – 1
12 13 12x – 1
12 14 32666x6 – 8248x5 – 3781x4 + 388x3 + 116x2 – 4x – 1
12 15 18898x6 + 2762x5 – 2709x4 – 312x3 + 92x2 + 6x – 1
12 16 9814x8 + 284x7 – 6059x6 – 180x5 + 917x4 – 108x3 – 65x2 + 4x + 1
13 14 13x – 1
13 15 9x – 1
13 16 11579x8 – 18738x7 – 22330x6 – 2658x5 + 1988x4 + 282x3 – 70x2 – 6x + 1
14 15 14x – 1
14 16 1078x5 – 398x4 – 397x3 – 71x2 + 3x + 1
15 16 15x – 1